Partir d'une série convergente avec une valeur absolue dans le terme général
Soit \((S_n)\) la série convergente de terme général \((\lvert u_n\rvert)_n\)

Critère de Cauchy
Donc, d'après le critère de Cauchy, on a : $$\sum^{n+p}_{k=n+1}\lvert u_k\rvert\lt \varepsilon$$

Par inégalité triangulaire, on a : $$\left|\sum^{n+p}_{k=n+1} u_k\right|\leqslant\sum^{n+p}_{k=n+1}\lvert u_k\rvert\lt \varepsilon$$
Donc \(\sum u_n\) converge

(Série numérique, Critère de Cauchy, Inégalité triangulaire)